Étude de l'équation $(x+1)^n-x^n=ny$ dans $\mathbb{N}^2$

لتكن $n$ عددًا طبيعيًا أكبر قطعًا من $1$. نعتبر في ${\mathbb{N}}^2$ المعادلة $(E_n):(x+1{)}^n-x^n=ny$. لتكن $(x,y)$ حلاً للمعادلة $(E_n)$ وليكن $p$ أصغر قاسم أولي للعدد $n$.

1. a) بيّن أن $(x+1{)}^n\equiv x^n[p]$.

   b) بيّن أن $p$ أولي مع $x$ ومع $x+1$.

   c) استنتج أن $(x+1{)}^{p-1}\equiv x^{p-1}[p]$.

2. بيّن أنه إذا كان $n$ زوجيًا، فإن المعادلة $(E_n)$ لا تقبل حلاً في ${\mathbb{N}}^2$.