Encadrement et asymptote d'une fonction intégrale

نص التمرين

لتكن $h(x)=x-\ln x$ على $]0,+\infty [$ و $F(x)=\underset{x}{\overset{2x}{\int }}\frac{dt}{t-\ln t}$ من أجل $x>0$.

1. تحقق من أنه لكل $x>0$، $\ln 2=\underset{x}{\overset{2x}{\int }}\frac{dt}{t}$.

2. بين أنه لكل $x\ge 1$ : $0\le F(x)-\ln 2\le \frac{\ln (2x)}{x-\ln x}$.

3. استنتج $\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)$ وفسر هندسياً.