Énoncé Soit F définie sur R par F ( x ) = 0 ∫ x e t − 2 t 2 d t . Montrer que F est dérivable sur R et calculer F ′ ( x ) . Montrer que 0 ∫ 1 F ( x ) d x = 0 ∫ 1 ( 1 − x ) e x − 2 x 2 d x , puis en déduire la valeur de 0 ∫ 1 F ( x ) d x .

Fonction définie par une intégrale et calcul par IPP

Difficile

Soit $F$ définie sur $R$ par $F (x) = 0 \int x e^{t - \frac{t ^{2}}{2}} d t$ .

Montrer que $F$ est dérivable sur $R$ et calculer $F^{'} (x)$ .
Montrer que $0 \int 1 F (x) d x = 0 \int 1 (1 - x) e^{x - \frac{x ^{2}}{2}} d x$ , puis en déduire la valeur de $0 \int 1 F (x) d x$ .

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1 Indice 1

Le théorème fondamental de l'analyse donne directement $F'(x)$ comme la fonction sous l'intégrale évaluée en $x$.

2 Indice 2

Pour la seconde question, effectue une intégration par parties sur $\int_0^1 F(x)\,dx$ avec $u=F(x)$ et $v'=1$.

3 Indice 3

Remarque que $(1-x)e^{x-x^2/2}$ est la dérivée de $e^{x-x^2/2}$, ce qui rend la dernière intégrale immédiate.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Le théorème fondamental de l'analyse donne directement $F^{'} (x)$ comme la fonction sous l'intégrale évaluée en $x$ .

Pour la seconde question, effectue une intégration par parties sur $0 \int 1 F (x) d x$ avec $u = F (x)$ et $v^{'} = 1$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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