Encadrement et asymptote d'une fonction intégrale

Énoncé

Soit $h(x)=x-\ln x$ sur $]0,+\infty [$ et $F(x)=\underset{x}{\overset{2x}{\int }}\frac{dt}{t-\ln t}$ pour $x>0$.

1. Vérifier que pour tout $x>0$, $\ln 2=\underset{x}{\overset{2x}{\int }}\frac{dt}{t}$.

2. Montrer que pour tout $x\ge 1$ : $0\le F(x)-\ln 2\le \frac{\ln (2x)}{x-\ln x}$.

3. En déduire $\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)$ et interpréter géométriquement.