Suite récurrente intégrale et irrationalité de e

Difficile
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Énoncé

متتالية تؤدي إلى لاعقلانية

لكل ، نضع .

  1. بيّن أن و .

  2. بيّن أنه لكل ، ، واستنتج .

  3. بيّن أنه لكل ، .

إرشادات

— انقر للكشف
1 الإرشاد 1
Pour $u_0$, c'est une integrale directe de $e^{1-x}$. Pour $u_1$, fais une integration par parties avec $u=x$ et $v'=e^{1-x}$.
2 الإرشاد 2
Pour l'encadrement, remarque que sur $[0,1]$, $x^n\\ge 0$ et $e^{1-x}\\le e$ (car $1-x\\in[0,1]$). Utilise ensuite le theoreme des gendarmes pour la limite.
3 الإرشاد 3
Pour la relation de recurrence, integre $u_{n+1}=\\int_0^1 x^{n+1}e^{1-x}dx$ par parties avec $u=x^{n+1}$ et $v'=e^{1-x}$.

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Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

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الطريقة — من أين نبدأ

Pour , c'est une integrale directe de . Pour , fais une integration par parties avec et .

Pour l'encadrement, remarque que sur , et (car ). Utilise ensuite le theoreme des gendarmes pour la limite.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

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Suite d'intégrales : variation, convergence et limite كل تمارين الدرس Primitive, aire sous une courbe et limite