نعتبر المتتالية ( I n ) n ∈ N المعرفة بـ: I n = 0 ∫ π /2 ( cos x ) n d x احسب I 0 ثم بين أن ( ∀ n ∈ N ) : I n + 2 = n + 2 n + 1 I n . بين بالترجع أن ( ∀ n ∈ N ) : I 2 n = ( n ! ) 2 ( 2 n )! ⋅ 2 2 n + 1 π . بين أن ( ∀ n ∈ N ) : ( n + 1 ) I n I n + 1 = 2 π . استنتج أن ( ∀ n ∈ N ) : I 2 n + 1 = ( 2 n + 1 )! 2 2 n ( n ! ) 2 .

Intégrales de Wallis $I_n=\int_0^{\pi/2}\cos^n x\,dx$

Difficile

نعتبر المتتالية $(I_{n})_{n \in N}$ المعرفة بـ:

$I_{n} = 0 \int π /2 (cos x)^{n} d x$

احسب $I_{0}$ ثم بين أن $(\forall n \in N) : I_{n + 2} = \frac{n + 1}{n + 2} I_{n}$ .
بين بالترجع أن $(\forall n \in N) : I_{2 n} = \frac{( 2 n )!}{( n ! ) ^{2}} \cdot \frac{π}{2 ^{2 n + 1}}$ .
بين أن $(\forall n \in N) : (n + 1) I_{n} I_{n + 1} = \frac{π}{2}$ .
استنتج أن $(\forall n \in N) : I_{2 n + 1} = \frac{2 ^{2 n} ( n ! ) ^{2}}{( 2 n + 1 )!}$ .

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

لإثبات علاقة التراجع، كامل بالأجزاء $I_{n+2}=\\int_0^{\\pi/2}\\cos^{n+1}x\\cos x\\,dx$ بوضع $u=\\cos^{n+1}x$ و $v'=\\cos x$.

2 الإرشاد 2

بالنسبة للتراجع على $I_{2n}$، استعمل العلاقة الموجودة في السؤال السابق بتعويض $n$ بـ $2n$.

3 الإرشاد 3

بالنسبة لحاصل الضرب $(n+1)I_nI_{n+1}$، ادرس كيف يتطور عند الانتقال من $n$ إلى $n+1$ باستعمال علاقة التراجع.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

لإثبات علاقة التراجع، كامل بالأجزاء $I_{n+2}=\\int\limits_0^{\\pi/2}\\cos^{n+1}x\\cos x\\,dx$ بوضع $u = co s^{n + 1} x$ و $v^{'} = cos x$ .

بالنسبة للتراجع على $I_{2 n}$ ، استعمل العلاقة الموجودة في السؤال السابق بتعويض $n$ بـ $2 n$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points