Primitive, aire sous une courbe et limite

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $\left]0;+\infty \right[$ بـ:

$f(x)=\frac{1+\ln x}{x^2}$

نرمز بـ $({\mathcal{C}}_f)$ لمنحناها في معلم متعامد ومتجانس وحدته $1\text{ cm}$. من أجل كل $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$، نرمز بـ $I_n$ لمساحة (بـ ${\text{cm}}^2$) المجال المحدود بـ $({\mathcal{C}}_f)$، ومحور الفواصل والمستقيمين ذوي المعادلتين $x=\frac{1}{e}$ و $x=n$.

1. بين أن $F:x\mapsto \frac{-2-\ln x}{x}$ دالة أصلية لـ $f$ على $\left]0;+\infty \right[$.

2. بين أنه من أجل كل $x\ge \frac{1}{e}$، لدينا $f(x)\ge 0$.

3. احسب $I_n$ بدلالة $n$، ثم عين $\underset{n\to +\infty }{\lim }{I}_n$.