Suite récurrente d'intégrales et limite associée

لكل $n\in \mathbb{N}$ ولكل $x>0$، نضع:

$F_n(x)=\underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{(\ln t{)}^n}{t^3}dt.$

1. باستخدام التكامل بالتجزيء، أثبت أنه لكل $x>0$: $F_{n+1}(x)=-\frac{(\ln x{)}^{n+1}}{2x^2}+\frac{n+1}{2}{F}_n(x)$، ثم حدد $F_0(x)$ و $F_1(x)$.

2. نقبل أن $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{(\ln x{)}^k}{x^2}=0$ لكل $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. أثبت بالترجع أن $F_n$ تقبل نهاية منتهية $a_n$ عند $+\infty$ وأن $2a_{n+1}=(n+1)a_n$.

3. بوضع $b_n=\frac{a_n}{n!}$، حدد $a_n$ بدلالة $n$.