من أجل n ∈ N ∗ ، نضع u n = 1 ∫ e x ( 1 − ln x ) n d x . بين أنه من أجل كل n ∈ N ∗ ، u n ≥ 0 . ادرس رتابة ( u n ) واستنتج أنها متقاربة. بين أنه من أجل كل n ∈ N ∗ : u n + 1 = − 2 1 + 2 n + 1 u n . بين أنه من أجل كل n ≥ 2 : n + 1 1 ≤ u n ≤ n − 1 1 ، ثم عين n → + ∞ lim u n و n → + ∞ lim n u n .

Suite d'intégrales : monotonie, récurrence et encadrement

Difficile

من أجل $n \in N^{*}$ ، نضع $u_{n} = 1 \int e x (1 - ln x)^{n} d x$ .

بين أنه من أجل كل $n \in N^{*}$ ، $u_{n} \geq 0$ .
ادرس رتابة $(u_{n})$ واستنتج أنها متقاربة.
بين أنه من أجل كل $n \in N^{*}$ : $u_{n + 1} = - \frac{1}{2} + \frac{n + 1}{2} u_{n}$ .
بين أنه من أجل كل $n \geq 2$ : $\frac{1}{n + 1} \leq u_{n} \leq \frac{1}{n - 1}$ ، ثم عين $n \to + \infty lim u_{n}$ و $n \to + \infty lim n u_{n}$ .

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

لإثبات الإيجابية، لاحظ إشارة $1-\\ln x$ على $[1,e]$؛ وبما أن $x\\geq 1 > 0$، استنتج إشارة الدالة المكاملة.

2 الإرشاد 2

لدراسة الرتابة، احسب $u_{n+1}-u_n$ بتحليل الدالة المكاملة إلى عوامل ودراسة إشارة العامل المتبقي على $[1,e]$.

3 الإرشاد 3

لإيجاد صيغة التكرار، استعمل الاندماج بالأجزاء مع $f'(x)=x$ و $g(x)=(1-\\ln x)^{n+1}$.

4 الإرشاد 4

للتأطير النهائي، استعمل $u_{n+1}\\geq 0$ و $u_{n+1}\\leq u_n$ مطبقتين على صيغة التكرار التي وجدتها سابقاً.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

لإثبات الإيجابية، لاحظ إشارة $1 - l n x$ على $[1, e]$ ؛ وبما أن $x g e q 1 > 0$ ، استنتج إشارة الدالة المكاملة.

لدراسة الرتابة، احسب $u_{n + 1} - u_{n}$ بتحليل الدالة المكاملة إلى عوامل ودراسة إشارة العامل المتبقي على $[1, e]$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points