لتكن F معرفة على I = ] 0 ; + ∞ [ بـ F ( x ) = l n 2 ∫ x e t − 1 1 d t . ادرس إشارة F ( x ) حسب x ، بيّن أن F قابلة للاشتقاق على I واحسب F ′ ( x ) ؛ استنتج أن F متزايدة تماماً. باستعمال تغيير المتغير u = e t − 1 ، بيّن أنه من أجل كل x ∈ I : F ( x ) = 2 arctan ( e x − 1 ) − 2 π . استنتج x → + ∞ lim F ( x ) و x → 0 + lim F ( x ) . بيّن أن F تحقق تقابلاً من I نحو مجال J يجب تحديده، ثم عيّن التقابل العكسي لها.

Étude d'une intégrale à bornes variables avec changement de variable

Difficile

لتكن $F$ معرفة على $I =] 0; + \infty [$ بـ $F (x) = l n 2 \int x \frac{1}{e ^{t} - 1} d t$ .

ادرس إشارة $F (x)$ حسب $x$ ، بيّن أن $F$ قابلة للاشتقاق على $I$ واحسب $F^{'} (x)$ ؛ استنتج أن $F$ متزايدة تماماً.
باستعمال تغيير المتغير $u = e^{t} - 1$ ، بيّن أنه من أجل كل $x \in I$ : $F (x) = 2 arctan (e^{x} - 1) - \frac{π}{2}$ . استنتج $x \to + \infty lim F (x)$ و $x \to 0^{+} lim F (x)$ .
بيّن أن $F$ تحقق تقابلاً من $I$ نحو مجال $J$ يجب تحديده، ثم عيّن التقابل العكسي لها.

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

استعمل المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل للحصول مباشرة على $F'(x)$، ثم ادرس إشارتها لتحديد الرتابة.

2 الإرشاد 2

أنجز تغيير المتغير $u=\sqrt{e^{t}-1}$: عبر عن $e^t$ و $dt$ والحدين الجديدين بدلالة $u$.

3 الإرشاد 3

بعد تغيير المتغير، يؤول التكامل إلى $\int \frac{2}{u^2+1}\,du$، والتي لها دالة أصلية $2\arctan u$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

استعمل المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل للحصول مباشرة على $F^{'} (x)$ ، ثم ادرس إشارتها لتحديد الرتابة.

أنجز تغيير المتغير $u = e^{t} - 1$ : عبر عن $e^{t}$ و $d t$ والحدين الجديدين بدلالة $u$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points