نعتبر الدالة g المعرفة على R ∗ بـ g ( x ) = x ∫ 3 x t cos t d t . بين أن g زوجية. بين أنه من أجل كل x > 0 : x ∫ 3 x t cos t d t = 3 x sin 3 x − 3 sin x + x ∫ 3 x t 2 sin t d t ، ثم أن ∣ g ( x ) ∣ ≤ x 2 واستنتج x → + ∞ lim g ( x ) . بين أن g ( x ) − ln 3 = x ∫ 3 x t cos t − 1 d t ، واستنتج x → 0 + lim g ( x ) . (يمكن استعمال: من أجل t > 0 ، 0 ≤ 1 − cos t ≤ t .)

Fonction définie par une intégrale : parité et limites

Difficile

نعتبر الدالة $g$ المعرفة على $R^{*}$ بـ $g (x) = x \int 3 x \frac{cos t}{t} d t$ .

بين أن $g$ زوجية.
بين أنه من أجل كل $x > 0$ : $x \int 3 x \frac{cos t}{t} d t = \frac{sin 3 x - 3 sin x}{3 x} + x \int 3 x \frac{sin t}{t ^{2}} d t$ ، ثم أن $∣ g (x) ∣ \leq \frac{2}{x}$ واستنتج $x \to + \infty lim g (x)$ .
بين أن $g (x) - ln 3 = x \int 3 x \frac{cos t - 1}{t} d t$ ، واستنتج $x \to 0^{+} lim g (x)$ . (يمكن استعمال: من أجل $t > 0$ ، $0 \leq 1 - cos t \leq t$ .)

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

لإثبات الزوجية، أجرِ تغيير المتغير $t=-s$ في $g(-x)$ واستعمل كون $\cos$ زوجية.

2 الإرشاد 2

بالنسبة للسؤال 2، طبق التكامل بالأجزاء مع $u=\dfrac{1}{t}$ و $w'=\cos t$، ثم أحصر كل حد على حدة (الحد المُدمج والتكامل المتبقي).

3 الإرشاد 3

بالنسبة للسؤال 3، لاحظ أن $\displaystyle\int_x^{3x}\dfrac{dt}{t}=\ln 3$؛ ثم استعمل الحصر $0\leq 1-\cos t \leq t$ لحصر $|g(x)-\ln 3|$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

لإثبات الزوجية، أجرِ تغيير المتغير $t = - s$ في $g (- x)$ واستعمل كون $cos$ زوجية.

بالنسبة للسؤال 2، طبق التكامل بالأجزاء مع $u = \frac{1}{t}$ و $w^{'} = cos t$ ، ثم أحصر كل حد على حدة (الحد المُدمج والتكامل المتبقي).

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points