لتكن F معرفة على ] 0 ; + ∞ [ بـ F ( x ) = 1/ x ∫ x t 2 + 1 ln t d t . احسب F ( 1 ) ، بيّن أن F قابلة للاشتقاق على ] 0 ; + ∞ [ واحسب F ′ ( x ) ؛ استنتج أن F ( x ) = 0 لكل x > 0 . باستعمال التكامل بالتجزيء، بيّن أنه لكل x > 0 : F ( x ) = ln x ( arctan x + arctan x 1 ) − 1/ x ∫ x t arctan t d t . بما أن arctan x + arctan x 1 = 2 π لـ x > 0 ، استنتج أن 1/ x ∫ x t arctan t d t = 2 π ln x .

Identité sur arctan via une intégrale nulle

Difficile

لتكن $F$ معرفة على $] 0; + \infty [$ بـ $F (x) = 1/ x \int x \frac{ln t}{t ^{2} + 1} d t$ .

احسب $F (1)$ ، بيّن أن $F$ قابلة للاشتقاق على $] 0; + \infty [$ واحسب $F^{'} (x)$ ؛ استنتج أن $F (x) = 0$ لكل $x > 0$ .
باستعمال التكامل بالتجزيء، بيّن أنه لكل $x > 0$ : $F (x) = ln x (arctan x + arctan \frac{1}{x}) - 1/ x \int x \frac{arctan t}{t} d t$ .
بما أن $arctan x + arctan \frac{1}{x} = \frac{π}{2}$ لـ $x > 0$ ، استنتج أن $1/ x \int x \frac{arctan t}{t} d t = \frac{π}{2} ln x$ .

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

Pour la question 1, remarque que les bornes coincident en $x=1$, puis derive $F$ via une primitive de la fonction sous l'integrale.

2 الإرشاد 2

Pour la question 2, fais une integration par parties avec $u=\ln t$ et $w'=\dfrac{1}{t^2+1}$.

3 الإرشاد 3

Pour la question 3, utilise les resultats des questions 1 et 2 avec la relation $\arctan x+\arctan\dfrac{1}{x}=\dfrac{\pi}{2}$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour la question 1, remarque que les bornes coincident en $x = 1$ , puis derive $F$ via une primitive de la fonction sous l'integrale.

Pour la question 2, fais une integration par parties avec $u = ln t$ et $w^{'} = \frac{1}{t ^{2} + 1}$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

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