لتكن G معرفة على [ 0 ; + ∞ [ بـ G ( 0 ) = 0 و، من أجل x > 0 : G ( x ) = x ∫ 4 x t e − t d t . بيّن أنه من أجل كل x > 0 ، يوجد c ∈ ] x ; 4 x [ بحيث G ( x ) = 3 x c e − c . استنتج أنه من أجل كل x > 0 : 2 3 x e − 4 x < G ( x ) < 3 x e − x . احسب x → + ∞ lim G ( x ) و x → 0 + lim G ( x ) .

Encadrement d'une intégrale et limites par théorème de la moyenne

Difficile

لتكن $G$ معرفة على $[0; + \infty [$ بـ $G (0) = 0$ و، من أجل $x > 0$ : $G (x) = x \int 4 x \frac{e ^{- t}}{t} d t$ .

بيّن أنه من أجل كل $x > 0$ ، يوجد $c \in] x; 4 x [$ بحيث $G (x) = 3 x \frac{e ^{- c}}{c}$ .
استنتج أنه من أجل كل $x > 0$ : $\frac{3}{2} x e^{- 4 x} < G (x) < 3 x e^{- x}$ .
احسب $x \to + \infty lim G (x)$ و $x \to 0^{+} lim G (x)$ .

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

طبق مبرهنة الوسط على $\varphi(t)=\dfrac{e^{-t}}{\sqrt{t}}$ على $[x\,;\,4x]$: يوجد $c$ بحيث يساوي التكامل (طول المجال) $\times\varphi(c)$.

2 الإرشاد 2

استعمل أن $t\mapsto e^{-t}$ و $t\mapsto\dfrac{1}{\sqrt{t}}$ تناقصيتان لتأطير $e^{-c}$ و $\dfrac{1}{\sqrt{c}}$ انطلاقا من $c\in\,]x\,;\,4x[$.

3 الإرشاد 3

من أجل النهايات، استعمل مبرهنة التقارب (الحراس) مع التأطير المحصل عليه، مع تذكر مقارنة النموات عندما $x\to+\infty$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

طبق مبرهنة الوسط على $φ (t) = \frac{e ^{- t}}{t}$ على $[x; 4 x]$ : يوجد $c$ بحيث يساوي التكامل (طول المجال) $\times φ (c)$ .

استعمل أن $t \mapsto e^{- t}$ و $t \mapsto \frac{1}{t}$ تناقصيتان لتأطير $e^{- c}$ و $\frac{1}{c}$ انطلاقا من $c \in] x; 4 x [$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points