Suite d'intégrales $I_n=\int_0^1 \frac{x^n}{\sqrt{1+x^2}}\,dx$

نعتبر المتتالية $(I_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ المعرفة بـ:

$I_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^n}{\sqrt{1+x^2}}dx$

1. احسب $I_1$، ثم $I_1+I_3$ واستنتج $I_3$.
2. بين أن المتتالية $(I_n)$ متقاربة.
3. بين أن $\left(\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right):\frac{1}{(n+1)\sqrt{2}}\le I_n\le \frac{1}{n+1}$، ثم استنتج $\underset{n\to +\infty }{\lim }{I}_n$.
4. بين أنه من أجل كل $n\ge 3$، $n{I}_n+(n-1)I_{n-2}=\sqrt{2}$، واستنتج $\underset{n\to +\infty }{\lim }n{I}_n$.