لتكن F الدالة المعرفة على R ∗ بـ: F ( x ) = x ∫ 2 x ln ( 1 + t 2 ) 1 d t من أجل كل x ∈ ] 0 ; + ∞ [ نضع φ ( x ) = 1 ∫ x ln ( 1 + t 2 ) 1 d t . بين أن F فردية. a) تحقق من أنه من أجل كل x ∈ ] 0 ; + ∞ [ ، F ( x ) = φ ( 2 x ) − φ ( x ) . b) استنتج أن F قابلة للاشتقاق على ] 0 ; + ∞ [ وأن F ′ ( x ) = ln ( 1 + 4 x 2 ) ln ( 1 + x 2 ) ln ( 1 + 4 x 2 ( 1 + x 2 ) 2 ) . حصر: بين أنه من أجل كل x > 0 ، ln ( 1 + 4 x 2 ) x ≤ F ( x ) ≤ ln ( 1 + x 2 ) x ، ثم احسب x → + ∞ lim F ( x ) و x → + ∞ lim x F ( x ) .

Étude de $F(x)=\int_x^{2x}\frac{dt}{\ln(1+t^2)}$

Difficile

لتكن $F$ الدالة المعرفة على $R^{*}$ بـ:

$F (x) = x \int 2 x \frac{1}{ln ( 1 + t ^{2} )} d t$

من أجل كل $x \in] 0; + \infty [$ نضع $φ (x) = 1 \int x \frac{1}{ln ( 1 + t ^{2} )} d t$ .

بين أن $F$ فردية.
a) تحقق من أنه من أجل كل $x \in] 0; + \infty [$ ، $F (x) = φ (2 x) - φ (x)$ .
b) استنتج أن $F$ قابلة للاشتقاق على $] 0; + \infty [$ وأن $F^{'} (x) = \frac{ln ( \frac{( 1 + x ^{2} ) ^{2}}{1 + 4 x ^{2}} )}{ln ( 1 + 4 x ^{2} ) ln ( 1 + x ^{2} )}$ .
حصر: بين أنه من أجل كل $x > 0$ ، $\frac{x}{ln ( 1 + 4 x ^{2} )} \leq F (x) \leq \frac{x}{ln ( 1 + x ^{2} )}$ ، ثم احسب $x \to + \infty lim F (x)$ و $x \to + \infty lim \frac{F ( x )}{x}$ .

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

من اجل الزوجية اجر تغيير المتغير $t = -u$ في $F(-x) = \int_{-x}^{-2x} g(t)\,dt$ واستعمل ان $g$ زوجية.

2 الإرشاد 2

من اجل المشتقة اكتب $F(x) = \varphi(2x) - \varphi(x)$ ثم اشتق كل حد بصيغة اشتقاق دالة اصلية مركبة.

3 الإرشاد 3

من اجل التاطير قارن $\ln(1+t^2)$ على المجال $[x,2x]$ ثم اقلب المتراجحات وكامل على هذا المجال طوله $x$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

من اجل الزوجية اجر تغيير المتغير $t = - u$ في $F (- x) = - x \int - 2 x g (t) d t$ واستعمل ان $g$ زوجية.

من اجل المشتقة اكتب $F (x) = φ (2 x) - φ (x)$ ثم اشتق كل حد بصيغة اشتقاق دالة اصلية مركبة.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points