تكامل بالأجزاء وحساب المساحات

التمرين 3 — المكاملة بالأجزاء ومساحة حيز من المستوى

نعتبر الدالة f المعرفة على [0 ; 1] بـ $f(x)=(x+1)\times e^x$ ومنحناها الممثل (C) في معلم متعامد.

1. بين أن $F(x)=x\times e^x$ هي دالة أصلية للدالة f على $\mathbb{R}$.
2. أ) أحسب التكامل $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(x+1)\times e^{x}dx$ باستعمال الدالة الأصلية التي تم إيجادها في السؤال 1.
   ب) تحقق من هذه النتيجة باستعمال طريقة المكاملة بالأجزاء مع $u(x)=x+1$ و $v^{\prime }(x)=e^x$.
3. نعتبر الدالة g المعرفة على [0 ; 1] بـ $g(x)=2x+1$.
   أ) بين أن $f(x)\ge g(x)$ لكل $x\in [0;1]$.
   ب) أحسب مساحة الحيز من المستوى المحصور بين منحنيي الدالتين f و g على [0 ; 1]. عبر عن النتيجة بوحدة قياس المساحة (u.a.).