لتكن f الدالة المعرفة على [ 0 ; + ∞ [ بـ f ( x ) = x ( 1 − ln x ) من أجل x > 0 و f ( 0 ) = 0 . نضع، من أجل x > 0 ، h ( x ) = x 2 ( 4 3 − 2 ln x ) . بين أن h دالة أصلية لـ f على R + ∗ . استنتج e x ∫ 1 f ( t ) d t بدلالة x (من أجل x ≤ 0 )، ثم بين أن x → − ∞ lim e x ∫ 1 f ( t ) d t = 4 3 .

Primitive de $x\,(1-\ln x)$ et limite d'une intégrale

Intermédiaire

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لتكن $f$ الدالة المعرفة على $[0; + \infty [$ بـ $f (x) = x (1 - ln x)$ من أجل $x > 0$ و $f (0) = 0$ . نضع، من أجل $x > 0$ ، $h (x) = x^{2} (\frac{3}{4} - \frac{ln x}{2})$ .

بين أن $h$ دالة أصلية لـ $f$ على $R_{+}^{*}$ .
استنتج $e^{x} \int 1 f (t) d t$ بدلالة $x$ (من أجل $x \leq 0$ )، ثم بين أن $x \to - \infty lim e^{x} \int 1 f (t) d t = \frac{3}{4}$ .

إرشادات

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1 الإرشاد 1

Pour vérifier que $h$ est une primitive de $f$, calcule $h'(x)$ en dérivant terme par terme : pense à la dérivée de $x^2 \ln x$ avec la règle du produit $(uv)'=u'v+uv'$.

2 الإرشاد 2

Pour l'intégrale, utilise $\displaystyle\int_{e^x}^{1} f(t)\,dt = h(1) - h(e^x)$. Calcule $h(1)$ directement, puis remplace $e^x$ dans $h$ en te rappelant que $\ln(e^x) = x$.

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Pour vérifier que $h$ est une primitive de $f$ , calcule $h^{'} (x)$ en dérivant terme par terme : pense à la dérivée de $x^{2} ln x$ avec la règle du produit $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ .

Pour l'intégrale, utilise $e^{x} \int 1 f (t) d t = h (1) - h (e^{x})$ . Calcule $h (1)$ directement, puis remplace $e^{x}$ dans $h$ en te rappelant que $ln (e^{x}) = x$ .

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