متتاليات التكامل والتأطير

التمرين 3 — متتالية تكاملات، حصر ونهاية

لكل عدد طبيعي $n\ge 1$، نعرف المتتالية $(I_n)$ بـ:

$I_n=\underset{1}{\overset{e}{\int }}{x}^n\ln (x)dx$

حيث $e$ يرمز لأساس اللوغاريتم الطبيعي.

1. حساب $I_1$ :
   a) احسب $I_1=\underset{1}{\overset{e}{\int }}x\ln (x)dx$ باستعمال التكامل بالتجزيء. حدد اختيار $u$ و $v^{\prime }$.
   b) تحقق من أن $I_1=\frac{e^2+1}{4}$.

2. صيغة التكرار:
   لكل عدد صحيح $n\ge 1$، بين أن:

   $I_n=\frac{e^{n+1}}{n+1}-\frac{1}{(n+1{)}^2}\times (e^{n+1}-1)$

   يمكنك وضع $u(x)=\ln (x)$ و $v^{\prime }(x)=x^n$، وبرر كل خطوة بعناية.

3. الحصر والنهاية:
   a) بين أنه لكل $x\in [1;e]$ ولكل $n\ge 1$ : $0\le x^n\ln (x)\le x^n(x-1)$.
   (نذكر أن $\ln (x)\le x-1$ لكل $x>0$.)
   b) استنتج حصراً لـ $I_n$ بدلالة $n$.
   c) حدد نهاية $(n+1)\times I_n$ عندما $n\to +\infty$. برر بدقة.

4. تطبيق عددي:
   مهندس في الدار البيضاء يمثل ظاهرة فيزيائية بالكمية:

   $S_n=(n+1)\times I_n-\frac{e^{n+1}}{n+1}$

   بين أن $S_n=-\frac{e^{n+1}-1}{(n+1{)}^2}$، ثم ادرس إشارة $S_n$ لـ $n\ge 1$ وفسر.