Suite d'intégrales définie par récurrence

Exercice 4

Pour tout entier naturel $n$, on définit : $I_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^n{e}^{x}dx$.

1. Calculer $I_0=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{x}dx$.
2. En effectuant une intégration par parties, établir la relation de récurrence : $I_n=e-n\times I_{n-1}$, pour tout entier $n\ge 1$.
3. Calculer $I_1$ puis $I_2$.
4. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $0\le I_n\le \frac{e}{n+1}$. En déduire la limite de $I_n$ quand $n\to +\infty$.