Suite d'intégrales et encadrement — Niveau difficile

Exercice 3 — Suite d'intégrales, encadrement et limite

Pour tout entier naturel $n\ge 1$, on définit la suite $(I_n)$ par :

$I_n=\underset{1}{\overset{e}{\int }}{x}^n\ln (x)dx$

où $e$ désigne la base du logarithme naturel.

1. Calcul de $I_1$ :
   a) Calculer $I_1=\underset{1}{\overset{e}{\int }}x\ln (x)dx$ en utilisant une intégration par parties. On précisera le choix de $u$ et $v^{\prime }$.
   b) Vérifier que $I_1=\frac{e^2+1}{4}$.

2. Formule de récurrence :
   Pour tout entier $n\ge 1$, montrer que :

   $I_n=\frac{e^{n+1}}{n+1}-\frac{1}{(n+1{)}^2}\times (e^{n+1}-1)$

   On pourra poser $u(x)=\ln (x)$ et $v^{\prime }(x)=x^n$, et justifier soigneusement chaque étape.

3. Encadrement et limite :
   a) Montrer que pour tout $x\in [1;e]$ et tout $n\ge 1$ : $0\le x^n\ln (x)\le x^n(x-1)$.
   (On rappelle que $\ln (x)\le x-1$ pour tout $x>0$.)
   b) En déduire un encadrement de $I_n$ en fonction de $n$.
   c) Déterminer la limite de $(n+1)\times I_n$ quand $n\to +\infty$. Justifier rigoureusement.

4. Application numérique :
   Un ingénieur à Casablanca modélise un phénomène physique par la quantité :

   $S_n=(n+1)\times I_n-\frac{e^{n+1}}{n+1}$

   Montrer que $S_n=-\frac{e^{n+1}-1}{(n+1{)}^2}$, puis étudier le signe de $S_n$ pour $n\ge 1$ et interpréter.