Intégration par parties et aire — Niveau intermédiaire

Exercice 2 — Intégration par parties et interprétation géométrique

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;1]$ par : $f(x)=(2x+1)e^x$.

On note $(C)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.

1. Calculer $f^{\prime }(x)$ pour tout $x\in [0;1]$. En déduire le sens de variation de $f$ sur $[0;1]$ et dresser le tableau de variations complet.

2. On admet que $F$ est une primitive de $f$ sur $[0;1]$. Calculer l'intégrale $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(2x+1)e^{x}dx$ en utilisant une intégration par parties.
   On rappelle la formule : $\underset{a}{\overset{b}{\int }}u(x)v^{\prime }(x)dx=[u(x)v(x){]}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}{u}^{\prime }(x)v(x)dx$.

3. Interpréter géométriquement la valeur de $I$ et calculer, en unités d'aire, l'aire du domaine délimité par la courbe $(C)$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$ et $x=1$.

4. Calculer la valeur moyenne de $f$ sur $[0;1]$, notée $m$. Donner la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près (on prendra $e\approx 2,718$).