Étude d'une fonction définie par une intégrale — niveau intermédiaire

Pour calculer $F(x)$, remarque que le numérateur $t$ ressemble presque à la dérivée du dénominateur $t^2+1$. Essaie de faire apparaître la forme $\frac{u^{\prime }}{u}$ en factorisant par une constante.

Pose $u(t)=t^2+1$, alors $u^{\prime }(t)=2t$. Réécris donc $\frac{t}{t^2+1}=\frac{1}{2}\times \frac{2t}{t^2+1}$ et cherche une primitive de $\frac{u^{\prime }}{u}$.