Exercice 2 Soit g la fonction définie sur [ 0 ; 1 ] par : g ( x ) = ( 2 x + 1 ) × e x 2 + x . Montrer que g admet une primitive G sur [ 0 ; 1 ] que l'on déterminera. Calculer l'intégrale J = 0 ∫ 1 g ( x ) d x . Calculer la valeur moyenne μ de g sur [ 0 ; 1 ] , puis donner une valeur approchée à 1 0 − 2 près. On rappelle que e ≈ 2 , 718 .

Intégrale et valeur moyenne d'une fonction — niveau facile

Facile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Source-style : BAC France Spé Maths 2024

Inspiré du style BAC France Spé Maths 2024

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Exercice 2

Soit g la fonction définie sur $[0; 1]$ par : $g (x) = (2 x + 1) \times e^{x^{2} + x}$ .

Montrer que g admet une primitive G sur $[0; 1]$ que l'on déterminera.
Calculer l'intégrale $J = 0 \int 1 g (x) d x$ .
Calculer la valeur moyenne $μ$ de g sur $[0; 1]$ , puis donner une valeur approchée à $1 0^{- 2}$ près.

On rappelle que $e \approx 2, 718$ .

Indices

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1 Indice 1

Observe bien l'expression de $g(x)$ : tu as $(2x+1)$ multiplié par $e^{x^2+x}$. Remarque que la dérivée de $x^2+x$ est justement $2x+1$. Cela te fait penser à quelle forme de primitive ?

2 Indice 2

Pour calculer l'intégrale $J$, utilise la primitive $G(x)$ que tu as trouvée et applique la formule : $\int_{0}^{1} g(x) \, dx = G(1) - G(0)$. Calcule ces deux valeurs séparément.

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Observe bien l'expression de $g (x)$ : tu as $(2 x + 1)$ multiplié par $e^{x^{2} + x}$ . Remarque que la dérivée de $x^{2} + x$ est justement $2 x + 1$ . Cela te fait penser à quelle forme de primitive ?

Pour calculer l'intégrale $J$ , utilise la primitive $G (x)$ que tu as trouvée et applique la formule : $0 \int 1 g (x) d x = G (1) - G (0)$ . Calcule ces deux valeurs séparément.

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