Problème : aire, inégalité intégrale et encadrement de ln 2 — niveau difficile

Exercice 6

On considère la fonction f définie sur $]0;+\infty [$ par $f(x)=\frac{1}{x}$.

Partie A — Encadrement de ln 2

1. Montrer que pour tout $x\in [1;2]$ : $\frac{1}{2}\le \frac{1}{x}\le 1$.
2. En déduire, en utilisant les propriétés de l'intégrale, que : $\frac{1}{2}\le \ln 2\le 1$.

Partie B — Encadrement plus précis

Pour tout entier naturel $n\ge 1$, on pose :

$S_n=\frac{1}{n}\times \sum _{k=1}^n\frac{1}{1+k/n}$.

3. Montrer que $S_n=\frac{1}{n}\times \sum _{k=1}^n\frac{n}{n+k}$.
4. Calculer $S_2$ et $S_3$ (valeurs exactes).
5. Admettre que $S_n\to \ln 2$ quand $n\to +\infty$. En utilisant $S_4$, donner un encadrement de ln 2 à $10^{-2}$ près en justifiant que $S_4$ est une valeur approchée par défaut de ln 2.

Partie C — Aire et interprétation

6. Calculer l'aire A de la région du plan délimitée par la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=2$.
7. On considère la fonction g définie sur $[1;2]$ par $g(x)=-x+2$. Calculer l'aire B de la région délimitée par les courbes de f et g sur $[1;2]$, en précisant sur quel(s) sous-intervalle(s) on a $f(x)\ge g(x)$.