متراجحة تكاملية، متتالية وسلوك تقاربي

التمرين 6 — متراجحات تكاملية ومتتالية معرفة بتكامل

لكل عدد صحيح طبيعي $n\ge 1$، نعرف المتتالية ($u_n$) بما يلي:
$u_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^n}{1+x}dx$.

1. حساب الحدود الأولى:

   1. بين أن $u_1=1-\ln (2)$.
   2. بملاحظة أن $\frac{x}{1+x}=1-\frac{1}{1+x}$، تحقق من هذه النتيجة واحسب $u_2$.

2. علاقة ترجعية:
   بين أنه لكل $n\ge 1$:
   $u_n+u_{n+1}=\frac{1}{n+1}$.
   إرشاد: احسب $u_n+u_{n+1}$ بتجميع التكاملات.

3. تأطير ونهاية:

   1. بين أنه لكل $x\in [0;1]$ ولكل $n\ge 1$: $\frac{x^n}{2}\le \frac{x^n}{1+x}\le x^n$.
      استنتج أن: $\frac{1}{2(n+1)}\le u_n\le \frac{1}{n+1}$.
   2. بين أن المتتالية ($u_n$) متقاربة وحدد نهايتها.

4. تطبيق:
   باستخدام العلاقة $u_n+u_{n+1}=\frac{1}{n+1}$ والنهاية التي تم إيجادها، بين أن:
   $\underset{n\to +\infty }{\lim }n\times u_n=\frac{1}{2}$.
   يمكن اعتبار $n\times u_n=\frac{n}{n+1}-n\times u_{n+1}$.