نص التمرين نعتبر المعادلة التفاضلية: ( E ) : x 2 y ′′ + 3 x y ′ + y = 0 , x ∈ ] 0 , + ∞ [ . من أجل حل y للمعادلة ( E ) ، نضع z ( t ) = y ( e t ) لكل t ∈ R . أثبت أن z تحقق z ′′ + 2 z ′ + z = 0 ، واستنتج تعبير z . حل المعادلة التفاضلية ( E ) .

Équation d'Euler x²y'' + 3xy' + y = 0 via le changement x = eᵗ

Difficile

نعتبر المعادلة التفاضلية:

$(E) : x^{2} y^{''} + 3 x y^{'} + y = 0, x \in] 0, + \infty [.$

من أجل حل $y$ للمعادلة $(E)$ ، نضع $z (t) = y (e^{t})$ لكل $t \in R$ .

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

اشتق $z(t)=y(e^t)$ بالنسبة لـ $t$ باستعمال اشتقاق دالة مركبة: $z'(t) = e^t y'(e^t)$، ثم اشتق مرة أخرى لإيجاد $z''(t)$.

2 الإرشاد 2

عوّض $z'$ و $z''$ و $z$ في $z''+2z'+z$، ضع $e^{2t}$ كعامل مشترك، وقارن مع المعادلة $(E)$ مطبقة عند $x=e^t$.

3 الإرشاد 3

حل المعادلة المميزة $r^2+2r+1=0$ (جذر مضاعف)، ثم ارجع إلى $y$ بوضع $t=\\ln x$ و $e^{-t}=\\dfrac{1}{x}$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

اشتق $z (t) = y (e^{t})$ بالنسبة لـ $t$ باستعمال اشتقاق دالة مركبة: $z^{'} (t) = e^{t} y^{'} (e^{t})$ ، ثم اشتق مرة أخرى لإيجاد $z^{''} (t)$ .

عوّض $z^{'}$ و $z^{''}$ و $z$ في $z^{''} + 2 z^{'} + z$ ، ضع $e^{2 t}$ كعامل مشترك، وقارن مع المعادلة $(E)$ مطبقة عند $x = e^{t}$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points