نص التمرين نعتبر المعادلة التفاضلية ( E ) : x 2 y ′′ + 3 x y ′ + y = 0 , x ∈ ] 0 , + ∞ [ ونضع z ( x ) = y ( e x ) من أجل x ∈ R . بيّن أن z ′′ + 2 z ′ + z = 0 واستنتج تعبير z . حل المعادلة التفاضلية ( E ) .

Équation d'Euler x²y''+3xy'+y=0 via z(x)=y(eˣ)

Difficile

Énoncé

نص التمرين

نعتبر المعادلة التفاضلية

$(E) : x^{2} y^{''} + 3 x y^{'} + y = 0, x \in] 0, + \infty [$

ونضع $z (x) = y (e^{x})$ من أجل $x \in R$ .

بيّن أن $z^{''} + 2 z^{'} + z = 0$ واستنتج تعبير $z$ .
حل المعادلة التفاضلية $(E)$ .

إرشادات

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

اشتق $z(x)=y(e^{x})$ مرتين باستخدام اشتقاق الدالة المركبة للتعبير عن $z'$ و $z''$ بدلالة $y'(e^{x})$ و $y''(e^{x})$.

2 الإرشاد 2

عوض $t=e^{x}$ في $(E)$ للحصول على $e^{2x}y''(e^{x})+3e^{x}y'(e^{x})+y(e^{x})=0$، ثم قارن مع عبارة $z''+2z'+z$ التي وجدتها.

3 الإرشاد 3

المعادلة المميزة $r^2+2r+1=0$ لها جذر مضاعف: الحل العام على الشكل $(\alpha x+\beta)e^{-x}$. للعودة إلى $y$، ضع $x=\ln t$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Demander à Prof Hicham

الطريقة — من أين نبدأ

اشتق $z (x) = y (e^{x})$ مرتين باستخدام اشتقاق الدالة المركبة للتعبير عن $z^{'}$ و $z^{''}$ بدلالة $y^{'} (e^{x})$ و $y^{''} (e^{x})$ .

عوض $t = e^{x}$ في $(E)$ للحصول على $e^{2 x} y^{''} (e^{x}) + 3 e^{x} y^{'} (e^{x}) + y (e^{x}) = 0$ ، ثم قارن مع عبارة $z^{''} + 2 z^{'} + z$ التي وجدتها.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Exercice Terminé? 🎉

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points

Équation x⁴y''-y=0 par le changement z(x)=xy(1/x) كل تمارين الدرس Équation y''-6y'+9y=2e^{3x} et primitive associée

Équation d'Euler x²y''+3xy'+y=0 via z(x)=y(eˣ)

Énoncé

نص التمرين

إرشادات

الطريقة — من أين نبدأ

Correction détaillée

افتح التصحيح الكامل

Exercice Terminé? 🎉

Équation d'Euler x²y''+3xy'+y=0 via z(x)=y(eˣ)

Énoncé

نص التمرين

إرشادات

الطريقة — من أين نبدأ

Correction détaillée

افتح التصحيح الكامل

Exercice Terminé? 🎉

Valider votre réponse

لقد شاهدت 5 تمارين اليوم 🎯