نص التمرين لتكن المعادلة التفاضلية ( E ) : x 2 y ′′ + 3 x y ′ + y = 0 من أجل x ∈ ] 0 , + ∞ [ . نضع z ( x ) = y ( e x ) من أجل x ∈ R . بيّن أن z ′′ + 2 z ′ + z = 0 ، ثم استنتج تعبير z . حل المعادلة التفاضلية ( E ) .

Équation d'Euler par changement de variable

Difficile

لتكن المعادلة التفاضلية $(E) : x^{2} y^{''} + 3 x y^{'} + y = 0$ من أجل $x \in] 0, + \infty [$ . نضع $z (x) = y (e^{x})$ من أجل $x \in R$ .

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

ضع $x=e^{t}$ واستعمل قاعدة اشتقاق الدالة المركبة للتعبير عن $z'(t)$ بدلالة $y'(x)$، ثم $z''(t)$ بدلالة $y''(x)$ و $y'(x)$.

2 الإرشاد 2

عوّض هذه العبارات في المعادلة $(E)$ لإظهار معادلة تفاضلية خطية بمعاملات ثابتة في $z$، ثم حلها باستعمال المعادلة المميزة (جذر مضاعف).

3 الإرشاد 3

للعودة إلى $y$، عوّض $t$ بـ $\ln x$ في عبارة $z(t)$، مستعملا $e^{-t}=\dfrac{1}{x}$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

ضع $x = e^{t}$ واستعمل قاعدة اشتقاق الدالة المركبة للتعبير عن $z^{'} (t)$ بدلالة $y^{'} (x)$ ، ثم $z^{''} (t)$ بدلالة $y^{''} (x)$ و $y^{'} (x)$ .

عوّض هذه العبارات في المعادلة $(E)$ لإظهار معادلة تفاضلية خطية بمعاملات ثابتة في $z$ ، ثم حلها باستعمال المعادلة المميزة (جذر مضاعف).

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points