التمرين 6 — عائلة الحلول والتأويل الهندسي نعتبر المعادلة التفاضلية: (E) : y ′ + 2 y = 4 x + 2 حيث y دالة قابلة للاشتقاق على R . حل المعادلة المتجانسة المرتبطة بها (E₀) : y ′ + 2 y = 0 . نبحث عن حل خاص للمعادلة (E) على شكل y ∗ = a x + b ، حيث a و b عددان حقيقيان يجب تحديدهما. أ) أحسب ( y ∗ ) ′ . ب) عوض في (E) وطابق المعاملات لتحديد a و b. ج) استنتج الحل العام للمعادلة (E). ليكن ( C k ) المنحنى الممثل للحل y k للمعادلة (E) الذي يحقق y k ( 0 ) = k ، من أجل k ∈ R . أ) عبر عن y k ( x ) بدلالة k و x. ب) بين أن جميع المنحنيات ( C k ) تمر من نفس النقطة A عندما يؤول x إلى + ∞ بمعنى مقارب، أي أن جميع الحلول لها نفس السلوك المقارب عند + ∞ . ج) حدد قيمة k التي من أجلها يمر المنحنى ( C k ) من النقطة B(0 ; 5). نرمز بـ f إلى حل المعادلة (E) الذي يحقق f ( 0 ) = 1 . بين أن f تزايدية قطعا على [ 1 ; + ∞ [ .

دراسة عائلة حلول وخواص هندسية

Difficile Inspiré BAC Côte d'Ivoire

Exercice inspiré d'un BAC Côte d'Ivoire

Source-style : BAC Côte d'Ivoire Série C 2023

Inspiré du style BAC Côte d'Ivoire Série C 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

التمرين 6 — عائلة الحلول والتأويل الهندسي

نعتبر المعادلة التفاضلية:

(E) : $y^{'} + 2 y = 4 x + 2$

حيث y دالة قابلة للاشتقاق على $R$ .

حل المعادلة المتجانسة المرتبطة بها (E₀) : $y^{'} + 2 y = 0$ .
نبحث عن حل خاص للمعادلة (E) على شكل $y^{*} = a x + b$ ، حيث a و b عددان حقيقيان يجب تحديدهما.
أ) أحسب $(y^{*})^{'}$ .
ب) عوض في (E) وطابق المعاملات لتحديد a و b.
ج) استنتج الحل العام للمعادلة (E).
ليكن $(C_{k})$ المنحنى الممثل للحل $y_{k}$ للمعادلة (E) الذي يحقق $y_{k} (0) = k$ ، من أجل $k \in R$ .
أ) عبر عن $y_{k} (x)$ بدلالة k و x.
ب) بين أن جميع المنحنيات $(C_{k})$ تمر من نفس النقطة A عندما يؤول $x$ إلى $+ \infty$ بمعنى مقارب، أي أن جميع الحلول لها نفس السلوك المقارب عند $+ \infty$ .
ج) حدد قيمة k التي من أجلها يمر المنحنى $(C_{k})$ من النقطة B(0 ; 5).
نرمز بـ f إلى حل المعادلة (E) الذي يحقق $f (0) = 1$ . بين أن f تزايدية قطعا على $[1; + \infty [$ .

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

المعادلة المتجانسة $y'+2y=0$ من الشكل $y'=ay$: الحل العام هو $y_h(x)=Ce^{ax}$.

2 الإرشاد 2

بالنسبة للحل الخاص $y^*=ax+b$، احسب $(y^*)'$ ثم عوض في (E) وحدد معاملات $x$ والثوابت.

3 الإرشاد 3

بالنسبة للسؤال 3، استعمل الشرط $y_k(0)=k$ لايجاد الثابت، ثم ادرس نهاية $y_k(x)-2x$ عندما $x\\to+\\infty$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

المعادلة المتجانسة $y^{'} + 2 y = 0$ من الشكل $y^{'} = a y$ : الحل العام هو $y_{h} (x) = C e^{a x}$ .

بالنسبة للحل الخاص $y^{*} = a x + b$ ، احسب $(y^{*})^{'}$ ثم عوض في (E) وحدد معاملات $x$ والثوابت.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points