Équation différentielle avec second membre exponentiel et étude complète

Exercice 5

On considère l'équation différentielle :

(E) : $y^{\prime }-y=2\cdot e^x$

1. Partie A — Résolution
   1. Résoudre l'équation homogène associée (E${}_0$) : $y^{\prime }-y=0$.
   2. Chercher une solution particulière de (E) de la forme $y_p(x)=\alpha \cdot x\cdot e^x$, où $\alpha \in \mathbb{R}$ est à déterminer.
   3. En déduire la solution générale de (E).
2. Partie B — Solution vérifiant $f(0)=3$
   1. Déterminer la solution particulière $f$ de (E) telle que $f(0)=3$.
   2. Calculer $f^{\prime }(x)$ et étudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
   3. Montrer que la droite (D) d'équation $y=(x+3)\cdot e^x$ n'est pas une asymptote de la courbe de $f$, mais préciser la nature du contact entre la courbe et (D) en $+\infty$.
3. Partie C — Raisonnement
   Soit $g$ une solution quelconque de (E). Montrer que $g(x)\cdot e^{-x}-x$ est une fonction constante sur $\mathbb{R}$.