Modélisation d'une croissance — Situation-problème

Exercice 4 — Situation-problème : évolution d'une population

Une étude démographique menée à Marrakech modélise l'évolution d'une population bactérienne dans un milieu fermé. On note N(t) le nombre (en millions) de bactéries au temps t (en heures), avec t $\ge$ 0.

Le modèle retenu suppose que N est dérivable sur [0 ; +$\infty$[ et vérifie l'équation différentielle :

(E) : N'(t) = 0,5 $\cdot$ N(t)

avec la condition initiale N(0) = 3 (millions de bactéries à l'instant initial).

1. Résoudre l'équation différentielle (E) et déterminer l'expression de N(t) en tenant compte de la condition initiale.
2. Calculer le nombre de bactéries après 2 heures. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à 0,01 près (on admet e ≈ 2,718).
3. Déterminer, en justifiant, au bout de combien d'heures la population dépasse 10 millions de bactéries. On admet que ln$\frac{10}{3}$ ≈ 1,204.
4. Étudier le comportement de N(t) quand t $\to$ +$\infty$ et interpréter ce résultat dans le contexte.