Exercice 2 On considère l'équation différentielle (E) : y ′ − 2 y = 4 , où y est une fonction dérivable sur R . Vérifier que la fonction constante y 0 ( x ) = − 2 est une solution particulière de (E). On pose z = y − y 0 . Montrer que z est solution d'une équation différentielle homogène (E₀) que l'on précisera. En déduire la solution générale de (E). Déterminer la solution particulière g de (E) telle que g ( 0 ) = 1 .

Équation différentielle avec second membre constant

Facile Inspiré BAC Côte d'Ivoire

Exercice inspiré d'un BAC Côte d'Ivoire

Source-style : BAC Côte d'Ivoire Série C 2023

Inspiré du style BAC Côte d'Ivoire Série C 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Exercice 2

On considère l'équation différentielle (E) : $y^{'} - 2 y = 4$ , où y est une fonction dérivable sur $R$ .

Vérifier que la fonction constante $y_{0} (x) = - 2$ est une solution particulière de (E).
On pose $z = y - y_{0}$ . Montrer que z est solution d'une équation différentielle homogène (E₀) que l'on précisera.
En déduire la solution générale de (E).
Déterminer la solution particulière g de (E) telle que $g (0) = 1$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour vérifier qu'une fonction est solution, calcule d'abord sa dérivée $y_0'(x)$, puis remplace $y_0$ et $y_0'$ dans l'équation (E). Que vaut la dérivée d'une fonction constante ?

2 Indice 2

Pour trouver l'équation vérifiée par $z = y - y_0$, exprime $y'$ en fonction de $z'$ et $y_0'$, puis remplace dans (E). Utilise le fait que $y_0 = -2$ pour simplifier l'équation obtenue.

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Pour vérifier qu'une fonction est solution, calcule d'abord sa dérivée $y_{0}^{'} (x)$ , puis remplace $y_{0}$ et $y_{0}^{'}$ dans l'équation (E). Que vaut la dérivée d'une fonction constante ?

Pour trouver l'équation vérifiée par $z = y - y_{0}$ , exprime $y^{'}$ en fonction de $z^{'}$ et $y_{0}^{'}$ , puis remplace dans (E). Utilise le fait que $y_{0} = - 2$ pour simplifier l'équation obtenue.

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