Étude d'une famille de solutions et propriétés géométriques

Exercice 6 — Famille de solutions et interprétation géométrique

On considère l'équation différentielle :

(E) : $y^{\prime }+2y=4x+2$

où y est une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$.

1. Résoudre l'équation homogène associée (E₀) : $y^{\prime }+2y=0$.
2. On cherche une solution particulière de (E) sous la forme $y^{\ast }=ax+b$, où a et b sont des réels à déterminer.
   a) Calculer $(y^{\ast }{)}^{\prime }$.
   b) Substituer dans (E) et identifier les coefficients pour déterminer a et b.
   c) En déduire la solution générale de (E).
3. Soit $(C_k)$ la courbe représentative de la solution $y_k$ de (E) vérifiant $y_k(0)=k$, pour $k\in \mathbb{R}$.
   a) Exprimer $y_k(x)$ en fonction de k et x.
   b) Montrer que toutes les courbes $(C_k)$ passent par un même point A lorsque $x\to +\infty$ dans un sens asymptotique, c'est-à-dire que toutes les solutions ont le même comportement asymptotique en $+\infty$.
   c) Déterminer la valeur de k pour laquelle la courbe $(C_k)$ passe par le point B(0 ; 5).
4. On note f la solution de (E) vérifiant $f(0)=1$. Montrer que f est strictement croissante sur $[1;+\infty [$.