معادلة تفاضلية بحد أسي ودراسة شاملة

التمرين 5

نعتبر المعادلة التفاضلية:

(E) : $y^{\prime }-y=2\cdot e^x$

1. الجزء A — الحل
   1. حل المعادلة المتجانسة المرتبطة (E${}_0$) : $y^{\prime }-y=0$.
   2. ابحث عن حل خاص لـ (E) من الشكل $y_p(x)=\alpha \cdot x\cdot e^x$، حيث $\alpha \in \mathbb{R}$ يجب تحديده.
   3. استنتج الحل العام لـ (E).
2. الجزء B — الحل الذي يحقق $f(0)=3$
   1. حدد الحل الخاص $f$ لـ (E) بحيث $f(0)=3$.
   2. احسب $f^{\prime }(x)$ وادرس تغيرات $f$ على $\mathbb{R}$.
   3. بين أن المستقيم (D) ذا المعادلة $y=(x+3)\cdot e^x$ ليس مقاربا لمنحنى $f$، لكن حدد طبيعة التماس بين المنحنى و (D) عند $+\infty$.
3. الجزء C — الاستدلال
   ليكن $g$ حلا أيا كان لـ (E). بين أن $g(x)\cdot e^{-x}-x$ دالة ثابتة على $\mathbb{R}$.