نمذجة نمو – وضعية مشكلة

Intermédiaire Inspiré BAC Côte d'Ivoire
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Exercice inspiré d'un BAC Côte d'Ivoire
Source-style : BAC Côte d'Ivoire Série C 2023
Inspiré du style BAC Côte d'Ivoire Série C 2023
Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

التمرين 4 — وضعية-مسألة: تطور ساكنة

نمذجة دراسة ديموغرافية أجريت بمراكش تطور ساكنة بكتيرية في وسط مغلق. نرمز بـ N(t) لعدد البكتيريا (بالملايين) في الزمن t (بالساعات)، حيث t 0.

النموذج المعتمد يفترض أن N قابلة للاشتقاق على [0 ; +[ وتحقق المعادلة التفاضلية:

(E) : N'(t) = 0,5 N(t)

مع الشرط الأولي N(0) = 3 (ملايين بكتيريا في اللحظة البدئية).

  1. حل المعادلة التفاضلية (E) وحدد تعبير N(t) مع الأخذ بعين الاعتبار الشرط الأولي.
  2. احسب عدد البكتيريا بعد ساعتين. أعط القيمة المضبوطة ثم قيمة مقربة إلى 0,01 (نعتبر e ≈ 2,718).
  3. حدد، مع التعليل، بعد كم ساعة تتجاوز الساكنة 10 ملايين بكتيريا. نعتبر أن ln(10/3) ≈ 1,204.
  4. ادرس سلوك N(t) عندما t + وفسر هذه النتيجة في السياق.

إرشادات

— انقر للكشف
1 الإرشاد 1
Reconnais d'abord le type d'équation différentielle : tu as une équation de la forme $N'(t) = a \cdot N(t)$. Quelle est la forme générale des solutions de ce type d'équation ?
2 الإرشاد 2
Une fois que tu as trouvé que $N(t) = C \cdot e^{0,5t}$, utilise la condition initiale $N(0) = 3$ pour déterminer la constante $C$. Remplace $t$ par $0$ dans ton expression.

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الطريقة — من أين نبدأ

Reconnais d'abord le type d'équation différentielle : tu as une équation de la forme . Quelle est la forme générale des solutions de ce type d'équation ?

Une fois que tu as trouvé que , utilise la condition initiale pour déterminer la constante . Remplace par dans ton expression.

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