المعادلة التفاضلية من الرتبة الثانية — دراسة شاملة

التمرين 4 — معادلة تفاضلية من الرتبة الثانية ودراسة دالة

نعتبر المعادلة التفاضلية:

(E) : $y^{\prime \prime }-5y^{\prime }+6y=0$

الجزء A — حل (E)

1. نضع $y(x)=e^{rx}$ حيث $r\in \mathbb{R}$. بين أن y حل للمعادلة (E) إذا وفقط إذا كان r يحقق المعادلة المميزة: $r^2-5r+6=0$.
2. حل المعادلة $r^2-5r+6=0$ واستنتج الحل العام للمعادلة (E) على $\mathbb{R}$.
3. حدد الحل الوحيد h للمعادلة (E) الذي يحقق الشرطين البدئيين $h(0)=1$ و $h^{\prime }(0)=3$.

الجزء B — دراسة الحل h

4. احسب $h^{\prime }(x)$ وبين أن المعادلة $h^{\prime }(x)=0$ تقبل حلا وحيدا $x_0$ سنعبر عنه بدلالة اللوغاريتم الطبيعي ln.
5. ضع جدول التغيرات الكامل للدالة h على $\mathbb{R}$.
6. بين أن $h(x)>0$ لكل $x\in \mathbb{R}$.