Exercice 2 — Condition initiale et unicité On considère l'équation différentielle (E) : y ′ = 2 y , où y est une fonction dérivable sur R . Déterminer la solution générale de (E). Parmi les fonctions suivantes, identifier celles qui sont solutions de (E) : • h 1 ( x ) = 3 ⋅ e 2 x • h 2 ( x ) = e 2 x + 1 • h 3 ( x ) = 0 (fonction nulle) • h 4 ( x ) = − 7 ⋅ e 2 x Déterminer l'unique solution φ de (E) telle que φ ( 1 ) = e 2 .

Condition initiale et unicité de la solution

Facile Inspiré BAC Côte d'Ivoire

Exercice inspiré d'un BAC Côte d'Ivoire

Source-style : BAC Côte d'Ivoire Série C 2023

Inspiré du style BAC Côte d'Ivoire Série C 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Exercice 2 — Condition initiale et unicité

On considère l'équation différentielle (E) : $y^{'} = 2 y$ , où y est une fonction dérivable sur $R$ .

Déterminer la solution générale de (E).
Parmi les fonctions suivantes, identifier celles qui sont solutions de (E) :
• $h_{1} (x) = 3 \cdot e^{2 x}$
• $h_{2} (x) = e^{2 x} + 1$
• $h_{3} (x) = 0$ (fonction nulle)
• $h_{4} (x) = - 7 \cdot e^{2 x}$
Déterminer l'unique solution $φ$ de (E) telle que $φ (1) = e^{2}$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la solution générale, reconnais le type d'équation : c'est $y' = ay$ avec $a = 2$. Rappelle-toi la forme des solutions de ce type d'équation différentielle du premier ordre.

2 Indice 2

Pour identifier les solutions, remplace chaque fonction dans l'équation : calcule $h'(x)$ puis vérifie si $h'(x) = 2h(x)$. Pour la condition initiale, utilise $\varphi(1) = e^2$ pour trouver la constante $C$ dans $\varphi(x) = C \cdot e^{2x}$.

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Pour la solution générale, reconnais le type d'équation : c'est $y^{'} = a y$ avec $a = 2$ . Rappelle-toi la forme des solutions de ce type d'équation différentielle du premier ordre.

Pour identifier les solutions, remplace chaque fonction dans l'équation : calcule $h^{'} (x)$ puis vérifie si $h^{'} (x) = 2 h (x)$ . Pour la condition initiale, utilise $φ (1) = e^{2}$ pour trouver la constante $C$ dans $φ (x) = C \cdot e^{2 x}$ .

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