التمرين 5 نعتبر المعادلة التفاضلية (E): y ′′ − 2 y ′ + 5 y = 0 . اكتب المعادلة المميزة لـ (E). احسب مميزها وبين أن جذورها هما العددان المركبان r 1 = 1 + 2 i و r 2 = 1 − 2 i . استنتج الحل العام الحقيقي لـ (E)، على الشكل y ( x ) = e x ( A ⋅ cos ( 2 x ) + B ⋅ sin ( 2 x )) ، حيث A , B ∈ R . عين الحل f لـ (E) الذي يحقق f ( 0 ) = 2 و f ′ ( 0 ) = 0 . جزء إضافي: بين أن f يمكن كتابته على الشكل f ( x ) = R ⋅ e x ⋅ cos ( 2 x − φ ) ، حيث R > 0 و φ ∈ [ 0 , π /2 ] ، وعينهما بشكل صريح.

معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية جذور مركبة

Difficile Inspiré BAC Sénégal

Exercice inspiré d'un BAC Sénégal

Source-style : BAC Sénégal Série S 2023

Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

التمرين 5

نعتبر المعادلة التفاضلية (E): $y^{''} - 2 y^{'} + 5 y = 0$ .

اكتب المعادلة المميزة لـ (E). احسب مميزها وبين أن جذورها هما العددان المركبان $r_{1} = 1 + 2 i$ و $r_{2} = 1 - 2 i$ .
استنتج الحل العام الحقيقي لـ (E)، على الشكل $y (x) = e^{x} (A \cdot cos (2 x) + B \cdot sin (2 x))$ ، حيث $A, B \in R$ .
عين الحل $f$ لـ (E) الذي يحقق $f (0) = 2$ و $f^{'} (0) = 0$ .
جزء إضافي: بين أن $f$ يمكن كتابته على الشكل $f (x) = R \cdot e^{x} \cdot cos (2 x - φ)$ ، حيث $R > 0$ و $φ \in [0, π /2]$ ، وعينهما بشكل صريح.

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

اكتب المعادلة المميزة $r^2-2r+5=0$ واحسب مميزها (سالب).

2 الإرشاد 2

استعمل الصيغة العامة $y(x)=e^{\alpha x}(A\cos(\beta x)+B\sin(\beta x))$ حيث $\alpha$ و$\beta$ هما الجزء الحقيقي والتخيلي للجذرين.

3 الإرشاد 3

استعمل الشرطين الابتدائيين $f(0)=2$ و $f'(0)=0$ لتحديد A وB، ثم حدد R و$\varphi$ بطريقة $R\cos\varphi=\dots$، $R\sin\varphi=\dots$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

اكتب المعادلة المميزة $r^{2} - 2 r + 5 = 0$ واحسب مميزها (سالب).

استعمل الصيغة العامة $y (x) = e^{α x} (A cos (β x) + B sin (β x))$ حيث $α$ و $β$ هما الجزء الحقيقي والتخيلي للجذرين.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points