Famille de courbes et équation différentielle — étude complète

Exercice 5

Pour tout réel C, on définit la fonction $f_C$ par :

$f_C(x)=(C+x)\cdot e^{-x}$

On note $({\Gamma }_C)$ la courbe représentative de $f_C$ dans un repère orthonormé.

1. Montrer que pour tout réel C, la fonction $f_C$ est solution de l'équation différentielle :
   (E) : $y^{\prime }+y=e^{-x}$
2. Montrer que toute solution de (E) est de la forme $f_C$ pour un certain réel C.
   Indication : on pourra considérer l'équation homogène associée $(E_0)$ : $y^{\prime }+y=0$.
3. Déterminer la solution particulière $\phi$ de (E) vérifiant $\phi (1)=0$.
4. Étudier les variations de $\phi$ et dresser son tableau de variations complet.
5. Montrer que la courbe $({\Gamma }_C)$ associée à $\phi$ admet une asymptote oblique en $-\infty$ que l'on déterminera.