Équation différentielle y' = ay — Étude complète et application

Exercice — Équations différentielles du premier ordre

On considère l'équation différentielle :

(E) : $y^{\prime }=-2y$

1. Résolution de (E) :

   1. Vérifier que la fonction nulle $y=0$ est solution de (E).
   2. Montrer que les solutions de (E) sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions de la forme $y(x)=C\cdot e^{-2x}$, où $C\in \mathbb{R}$.
   3. Déterminer la solution particulière $y_0$ vérifiant la condition initiale $y(0)=3$.

2. Étude de la solution particulière :

   Soit $y_0$ la solution trouvée à la question 1.c.

   1. Calculer $y_0^{\prime }(x)$ et vérifier directement que $y_0$ vérifie (E).
   2. Étudier les variations de $y_0$ sur $\mathbb{R}$ et dresser son tableau de variations.
   3. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }{y}_0(x)$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }{y}_0(x)$. Interpréter graphiquement.

3. Question de synthèse :

   Parmi les fonctions suivantes, déterminer celles qui sont solutions de (E) :

   • $f_1(x)=5\cdot e^{-2x}$
   • $f_2(x)=e^{2x}$
   • $f_3(x)=-e^{-2x}$
   • $f_4(x)=0$