Équation différentielle du second ordre — racines complexes et courbe intégrale

Exercice 5

On considère l'équation différentielle (E) : $y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+5y=0$.

1. Écrire l'équation caractéristique de (E). Calculer son discriminant et montrer que ses racines sont les nombres complexes $r_1=1+2i$ et $r_2=1-2i$.
2. En déduire la solution générale réelle de (E), de la forme $y(x)=e^x(A\cdot \cos (2x)+B\cdot \sin (2x))$, avec $A,B\in \mathbb{R}$.
3. Déterminer la solution $f$ de (E) vérifiant $f(0)=2$ et $f^{\prime }(0)=0$.
4. Partie supplémentaire : Montrer que $f$ peut s'écrire sous la forme $f(x)=R\cdot e^x\cdot \cos (2x-\phi )$, où $R>0$ et $\phi \in [0,\pi /2]$, que l'on déterminera explicitement.