نمذجة تطور المخزون في شركة بالدار البيضاء

التمرين 4 — وضعية-مسألة

تقوم شركة توزيع بالدار البيضاء بنمذجة تطور مخزونها من البضائع (بآلاف الدراهم) بواسطة دالة S معرفة وقابلة للاشتقاق على $[0;+\infty [$، حيث t يمثل الزمن بالأشهر.

يلاحظ المدير أن التغير اللحظي للمخزون يحقق العلاقة:

$S^{\prime }(t)=-0,4\cdot S(t)+8$

عند الانطلاق (t = 0)، كانت قيمة المخزون 30 000 درهم، أي $S(0)=30$.

1. بين أن الدالة الثابتة $g(t)=20$ هي حل للمعادلة التفاضلية (E) : $y^{\prime }=-0,4y+8$.
2. بوضع $u(t)=S(t)-20$، بين أن u تحقق المعادلة التفاضلية (E') : $u^{\prime }=-0,4u$.
3. حل المعادلة (E') واستنتج تعبير $S(t)$.
4. حدد قيمة المخزون بعد 5 أشهر. أعط القيمة المقربة إلى 0,01 (نعتبر $e^{-2}\approx 0,135$).
5. يؤكد المدير أن المخزون يستقر على المدى الطويل عند 20 000 درهم. أكد أو انفي هذا التأكيد مع التعليل.