Étude complète d'une fonction avec exponentielle

دراسة دالة

نعتبر الدالة $f$ المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ $f(x)=x-2+x{e}^{2-x}$، ومنحناها $(C_f)$. نقبل أنه من أجل كل عدد حقيقي $x$، $f^{\prime }(x)=(1-x)e^{2-x}+1\ge 0$.

1. احسب $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ و $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$.
2. أنشئ جدول تغيرات $f$.
3. بيّن أن المستقيم $(\Delta ):y=x-2$ مقارب مائل لـ $(C_f)$ في جوار $+\infty$، وادرس الوضع النسبي لـ $(C_f)$ و $(\Delta )$.
4. بيّن أن المعادلة $f(x)=0$ تقبل حلاً وحيداً $\alpha$ في $\mathbb{R}$، حيث $0<\alpha <1$.