Limites et asymptotes On considère la fonction f définie par f ( x ) = 2 x + e x − 1 e x . Vérifier que D f = R ∗ . Calculer x → 0 + lim f ( x ) et x → 0 − lim f ( x ) , puis interpréter graphiquement. Montrer que la droite ( D ) : y = 2 x + 1 est asymptote oblique à ( C f ) au voisinage de + ∞ , et étudier la position relative de ( C f ) et ( D ) sur ] 0 ; + ∞ [ .

Fonction rationnelle exponentielle et asymptotes

Difficile

On considère la fonction $f$ définie par $f (x) = 2 x + \frac{e ^{x}}{e ^{x} - 1}$ .

Vérifier que $D_{f} = R^{*}$ .
Calculer $x \to 0^{+} lim f (x)$ et $x \to 0^{-} lim f (x)$ , puis interpréter graphiquement.
Montrer que la droite $(D) : y = 2 x + 1$ est asymptote oblique à $(C_{f})$ au voisinage de $+ \infty$ , et étudier la position relative de $(C_{f})$ et $(D)$ sur $] 0; + \infty [$ .

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1 Indice 1

Le domaine de definition depend de l'annulation du denominateur $e^x - 1$.

2 Indice 2

Pour les limites en $0$, etudie le signe de $e^x - 1$ selon que $x \to 0^+$ ou $x \to 0^-$.

3 Indice 3

Pour l'asymptote oblique, calcule $f(x) - (2x+1)$ et simplifie l'expression obtenue avant de determiner sa limite et son signe.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Le domaine de definition depend de l'annulation du denominateur $e^{x} - 1$ .

Pour les limites en $0$ , etudie le signe de $e^{x} - 1$ selon que $x \to 0^{+}$ ou $x \to 0^{-}$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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