Étude de f(x) = eˣ/(1 + eˣ) — domaine, limites, monotonie

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Soit f définie par :

  1. Déterminer le domaine de définition .
  2. Calculer les limites de f en et en .
  3. Calculer et étudier son signe. En déduire la monotonie de f.
  4. Dresser le tableau de variations complet de f.
  5. Montrer que pour tout .

Indices

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1 Indice 1
Pour le domaine de définition, demande-toi : est-ce que le dénominateur $1 + e^x$ peut s'annuler ? Rappelle-toi que $e^x$ est toujours strictement positif.
2 Indice 2
Pour la dérivée, utilise la formule $(\dfrac{u}{v})' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ avec $u = e^x$ et $v = 1 + e^x$. Après simplification, tu verras que les termes $e^{2x}$ vont s'éliminer.

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La méthode — par où commencer

Pour le domaine de définition, demande-toi : est-ce que le dénominateur peut s'annuler ? Rappelle-toi que est toujours strictement positif.

Pour la dérivée, utilise la formule avec et . Après simplification, tu verras que les termes vont s'éliminer.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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