Une colonie bactérienne contient initialement N 0 = 1 000 bactéries. On modélise le nombre de bactéries à l'instant t (en heures) par : N ( t ) = N 0 ⋅ e k t où k est un réel positif. On observe qu'au bout de 3 heures, la colonie compte 8 000 bactéries. Montrer que k = ln ( 2 ) et donner la loi N ( t ) explicitement. Au bout de combien de temps la population double-t-elle ? (temps de doublement) Calculer N ( 5 ) (arrondir à l'unité). Au bout de combien de temps la colonie dépassera-t-elle 1 0 6 bactéries ?

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Une colonie bactérienne contient initialement $N_{0} = 1000$ bactéries. On modélise le nombre de bactéries à l'instant t (en heures) par : $N (t) = N_{0} \cdot e^{k t}$

où k est un réel positif. On observe qu'au bout de 3 heures, la colonie compte 8 000 bactéries.

Montrer que $k = ln (2)$ et donner la loi $N (t)$ explicitement.
Au bout de combien de temps la population double-t-elle ? (temps de doublement)
Calculer $N (5)$ (arrondir à l'unité).
Au bout de combien de temps la colonie dépassera-t-elle $1 0^{6}$ bactéries ?

Indices

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1 Indice 1

Pour trouver $k$, utilise la condition $N(3) = 8\,000$. Remplace dans la formule, isole $e^{3k}$, puis remarque que $8 = 2^3$ pour simplifier avec les logarithmes.

2 Indice 2

Pour le temps de doublement, cherche $t$ tel que $N(t) = 2 \times N_0$. En remplaçant dans ta formule $N(t) = 1000 \cdot 2^t$, tu auras une équation très simple à résoudre.

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Pour trouver $k$ , utilise la condition $N (3) = 8000$ . Remplace dans la formule, isole $e^{3 k}$ , puis remarque que $8 = 2^{3}$ pour simplifier avec les logarithmes.

Pour le temps de doublement, cherche $t$ tel que $N (t) = 2 \times N_{0}$ . En remplaçant dans ta formule $N (t) = 1000 \cdot 2^{t}$ , tu auras une équation très simple à résoudre.

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