Étude complète d'une fonction avec exponentielle

Étude d'une fonction

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x-2+x{e}^{2-x}$, de courbe $(C_f)$. On admet que pour tout réel $x$, $f^{\prime }(x)=(1-x)e^{2-x}+1\ge 0$.

1. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$.
2. Dresser le tableau de variations de $f$.
3. Montrer que la droite $(\Delta ):y=x-2$ est asymptote oblique à $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$, et étudier la position relative de $(C_f)$ et $(\Delta )$.
4. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$, avec $0<\alpha <1$.