مخروط و كرة محاطة - تحسين الحجم

التمرين 4 — المخروط والكرة المحاطة

نعتبر مخروط دوران رأسه S، ارتفاعه $h$ ونصف قطر قاعدته $r$. نفترض أن $r+h=12$ (قيد ثابت).

1. عبر عن حجم المخروط $V$ بدلالة $r$ فقط (عن طريق تعويض $h=12-r$).

2. حدد قيم $r$ التي يكون من أجلها $V$ معرفًا (مجال الصلاحية).

3. احسب $V^{\prime }(r)$ وحدد قيمة $r$ التي تجعل $V$ قصويًا.

4. استنتج القيمة القصوى لحجم المخروط، والأبعاد الموافقة.

5. كرة نصف قطرها $\rho$ محاطة بهذا المخروط الأمثل (هي مماسية للقاعدة وللسطح الجانبي). علمًا أنه بالنسبة لمخروط نصف قطره $r$ وارتفاعه $h$، فإن نصف قطر الكرة المحاطة هو $\rho =\frac{r\cdot h}{r+l}$ حيث $l=\sqrt{r^2+h^2}$ هو الارتفاع الجانبي، احسب $\rho$ للأبعاد المثلى التي تم إيجادها.