Exercice 2 — Sphère inscrite dans un cône de révolution Un artisan de Marrakech fabrique des pièces décoratives en plâtre. Chaque pièce est constituée d'un cône de révolution dans lequel est inscrite une sphère tangente à la base et à la surface latérale du cône. Le cône a un rayon de base R = 6 cm et une hauteur h = 8 cm. Données : On note r le rayon de la sphère inscrite, O le centre de la base du cône, S le sommet du cône, et I le centre de la sphère (situé sur l'axe ( O S ) ). Caractéristiques du cône. Calculer l'apothème l du cône (génératrice). Calculer l'aire latérale et l'aire totale du cône. Calculer le volume V c o ˆ ne du cône. Détermination du rayon de la sphère inscrite. On admet que la sphère inscrite est tangente à la base en un point situé sur l'axe, et tangente à la surface latérale. Le centre I est à la hauteur r au-dessus de la base (car la sphère est tangente à la base). En considérant la section axiale du cône (triangle isocèle de sommet S , de demi-base R et de hauteur h ), montrer que la distance du point I à la génératrice du triangle est égale à r . Indication : exprimer la distance d'un point à une droite dans le triangle axial. En utilisant le résultat précédent, établir que : r = R + l R × h , où l est l'apothème calculé en 1.1. Calculer la valeur exacte de r . Volumes et proportion. Calculer le volume V sph e ˋ re de la sphère inscrite. On rappelle que le volume d'une sphère de rayon r est V = 3 4 π r 3 . Calculer le rapport V c o ˆ ne V

Étude d'un cône et d'une sphère inscrite — Optimisation géométrique

Intermédiaire Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Source-style : BAC France Spé Maths 2024

Inspiré du style BAC France Spé Maths 2024

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Exercice 2 — Sphère inscrite dans un cône de révolution

Un artisan de Marrakech fabrique des pièces décoratives en plâtre. Chaque pièce est constituée d'un cône de révolution dans lequel est inscrite une sphère tangente à la base et à la surface latérale du cône.

Le cône a un rayon de base $R = 6$ cm et une hauteur $h = 8$ cm.

Données : On note $r$ le rayon de la sphère inscrite, $O$ le centre de la base du cône, $S$ le sommet du cône, et $I$ le centre de la sphère (situé sur l'axe $(O S)$ ).

Caractéristiques du cône.
1. Calculer l'apothème $l$ du cône (génératrice).
2. Calculer l'aire latérale et l'aire totale du cône.
3. Calculer le volume $V_{c \overset{o}{ˆ} ne}$ du cône.
Détermination du rayon de la sphère inscrite.
On admet que la sphère inscrite est tangente à la base en un point situé sur l'axe, et tangente à la surface latérale. Le centre $I$ est à la hauteur $r$ au-dessus de la base (car la sphère est tangente à la base).
1. En considérant la section axiale du cône (triangle isocèle de sommet $S$ , de demi-base $R$ et de hauteur $h$ ), montrer que la distance du point $I$ à la génératrice du triangle est égale à $r$ .
  Indication : exprimer la distance d'un point à une droite dans le triangle axial.
2. En utilisant le résultat précédent, établir que : $r = \frac{R \times h}{R + l}$ , où $l$ est l'apothème calculé en 1.1.
3. Calculer la valeur exacte de $r$ .
Volumes et proportion.
1. Calculer le volume $V_{sph \overset{e}{ˋ} re}$ de la sphère inscrite. On rappelle que le volume d'une sphère de rayon $r$ est $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ .
2. Calculer le rapport $\frac{V _{sph \overset{e}{ˋ} re}}{V _{c \overset{o}{ˆ} ne}}$ et exprimer ce rapport en pourcentage (valeur approchée à 1% près).

Indices

— clique pour révéler

1 Indice 1

Commence par dessiner la section axiale du cône : c'est un triangle isocèle $SAA'$ où $S$ est le sommet, et $A$, $A'$ les extrémités du diamètre de la base. Le centre $I$ de la sphère est sur l'axe à hauteur $r$, et la distance de $I$ à la génératrice $[SA]$ doit être égale à $r$ (rayon de tangence).

2 Indice 2

Place un repère avec $O$ à l'origine. Trouve l'équation de la droite $(SA)$ où $S(0;8)$ et $A(6;0)$. Ensuite, utilise la formule de distance d'un point à une droite : $d(I,(SA)) = \dfrac{|ax_I + by_I + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ avec $I(0;r)$, et impose que cette distance égale $r$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Demander à Prof Hicham

La méthode — par où commencer

Commence par dessiner la section axiale du cône : c'est un triangle isocèle $S A A^{'}$ où $S$ est le sommet, et $A$ , $A^{'}$ les extrémités du diamètre de la base. Le centre $I$ de la sphère est sur l'axe à hauteur $r$ , et la distance de $I$ à la génératrice $[S A]$ doit être égale à $r$ (rayon de tangence).

Place un repère avec $O$ à l'origine. Trouve l'équation de la droite $(S A)$ où $S (0; 8)$ et $A (6; 0)$ . Ensuite, utilise la formule de distance d'un point à une droite : $d (I, (S A)) = \frac{∣ a x _{I} + b y _{I} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ avec $I (0; r)$ , et impose que cette distance égale $r$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

Continue sur la même notion

Exercice Terminé? 🎉

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points

Section d'une pyramide par un plan parallèle à la base Tous les exercices du chapitre Cône et sphère inscrite — Optimisation de volume

Étude d'un cône et d'une sphère inscrite — Optimisation géométrique

Énoncé

Indices

La méthode — par où commencer

Correction détaillée

Débloque le corrigé complet

Exercice Terminé? 🎉

Étude d'un cône et d'une sphère inscrite — Optimisation géométrique

Énoncé

Indices

La méthode — par où commencer

Correction détaillée

Débloque le corrigé complet

Exercice Terminé? 🎉

Valider votre réponse

Tu as vu 5 exercices aujourd'hui 🎯