Tétraèdre régulier — Plan médiateur et équation de plan

Exercice 3 — Tétraèdre et équation de plan

On considère dans l'espace muni d'un repère orthonormé (O ; i, j, k) les points :

• A = (1 ; 0 ; 0)
• B = (−1 ; 0 ; 0)
• C = (0 ; $\sqrt{3}$ ; 0)
• S = (0 ; $\sqrt{3}/3$ ; $2\sqrt{6}/3$)

On admet que SABC est un tétraèdre régulier (toutes les arêtes ont la même longueur).

1. Vérifier que $AB=AC=BC=2$.

2. Calculer les coordonnées du centre de gravité G du triangle ABC.

3. Montrer que le vecteur $\vec{n}=(0;0;1)$ est un vecteur normal au plan (ABC).

4. Écrire une équation cartésienne du plan (ABC).

5. Déterminer la distance du point S au plan (ABC), et en déduire la hauteur du tétraèdre.